【二项分布超几何分布的均值和方差公式是什么】在概率统计中，二项分布与超几何分布是两种常见的离散型概率分布，它们分别用于描述不同条件下成功事件发生的次数。虽然两者都涉及“成功”与“失败”的情况，但它们的应用场景和数学性质有所不同。下面将对这两种分布的均值和方差公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、二项分布
二项分布适用于独立重复试验中，每次试验只有两种可能结果（成功或失败），且每次试验的成功概率相同的情况。设随机变量 $ X \sim B(n, p) $，其中 $ n $ 是试验次数，$ p $ 是每次试验成功的概率。
- 均值（期望）：
$$
E(X) = np
$$
- 方差：
$$
Var(X) = np(1 - p)
$$
二、超几何分布
超几何分布用于描述在不放回抽样中，从有限总体中抽取样本时，成功事件出现的次数。设随机变量 $ X \sim H(N, K, n) $，其中 $ N $ 是总体数量，$ K $ 是成功个体的数量，$ n $ 是抽取的样本数。
- 均值（期望）：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
- 方差：
$$
Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
注意：超几何分布的方差比二项分布的方差要小，这是因为抽样是不放回的，导致样本之间存在相关性。
三、对比总结表
| 分布类型 | 均值 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 二项分布 | $ np $ | $ np(1 - p) $ |
| 超几何分布 | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
四、总结
二项分布和超几何分布在实际应用中各有侧重：
- 二项分布适用于有放回抽样或独立重复试验的情形；
- 超几何分布则适用于无放回抽样的有限总体情形。
两者的均值计算方式相似，但超几何分布的方差由于考虑了不放回抽样的影响，因此会有一个额外的修正因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $，使得其方差小于二项分布的方差。
理解这两种分布的均值与方差有助于在实际问题中选择合适的模型，从而更准确地进行数据分析与预测。